순환소수와 식의 계산 심화 문제

문제

어떤 기약분수 $\frac{k}{N}$를 소수로 나타내면 $0.a\dot{b}$ 형태의 순환소수가 된다. ($a, b$는 서로 다른 한 자리 자연수이며, $k$는 가능한 가장 작은 자연수이다.) 이때, $N$은 $0.a\dot{b}$의 조건을 만족하는 가장 작은 자연수이다.

위에서 결정된 $a, b$에 대하여, 다음 식 $P$가 주어져 있다. $P = (m x^a y^3)^2 \times (n x^5 y^b) \div (p x^2 y^{a+b-1})$ 이 식 $P$를 간단히 하였을 때 계수는 $k$가 된다고 한다. (단, $m, n, p$는 모두 양의 정수이다.) 이때 $m+n+p$의 최솟값은?