순환소수와 다항식의 미스터리

문제

$k$는 0이 아닌 한 자리 자연수이다. 두 순환소수 $A = 0.\dot{k}$와 $B = 0.k\dot{0}$이 주어져 있다. 두 변수 $x, y$와 자연수 $m$에 대하여 단항식 $M$은 다음과 같이 정의된다. $M = \left(\frac{1}{A}x^{m}y^{m+1}\right) \times \left(\frac{1}{B}x^{m+2}y^{m}\right)$

단항식 $M$의 계수는 두 자리 자연수이며, 그 계수의 각 자리 숫자의 합은 9이다. 또한, 단항식 $M$의 차수는 15이다.

이때, 다항식 $P(x,y) = (90A)x^2 + (90B)y^2 + (k^2+1)xy - (A+B)$ 에서 $xy$ 항의 계수를 구하시오.