순환소수와 다항식의 복합 추론 문제

문제

다항식 $P(x) = (Ax+B)(Cx+D)$의 계수 $A, B, C, D$는 다음 네 가지 조건을 만족하는 자연수입니다.

조건 1: $A$는 분수 $\frac{A}{360}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수입니다.

조건 2: $B$는 분수 $\frac{7}{120}$을 소수로 나타냈을 때, 소수점 아래 순환하지 않는 부분의 숫자의 개수입니다.

조건 3: $C$는 다항식 $2x(x^2-y) - (2x^3 - 3xy + y)$를 간단히 했을 때, 항의 개수입니다.

조건 4: $D$는 분수 $\frac{D}{210}$가 순환소수가 되고, 이 분수를 기약분수로 나타냈을 때 분모의 순환마디의 길이가 6이 되도록 하는 가장 작은 자연수입니다.

이때, 다항식 $P(x)$를 전개하여 정리했을 때, 모든 계수의 합은 얼마입니까?