고난도 수와 식 종합 추론 문제

문제

세 자연수 $M, N, K$는 다음 조건을 만족합니다.

(가) 한 자리 자연수 $p$와 두 자리 자연수 $q$에 대하여, 분수 $\\frac{p}{q}$를 소수로 나타내면 순순환소수가 되고, 순환마디의 길이가 2이며, 순환마디를 이루는 숫자의 합이 7입니다. $M = q-p$일 때, $M$의 값은?

(나) 분수 $\\frac{1}{k}$을 소수로 나타내면 혼순환소수가 되고, 소수점 아래 첫째 자리부터 순환하지 않는 부분의 길이가 1이고, 순환마디의 길이가 1입니다. 이러한 조건을 만족하는 두 자리 자연수 $k$ 중 가장 큰 값을 $N$이라고 할 때, $N$의 값은?

(다) 분수 $\\frac{13}{j}$을 소수로 나타내면 유한소수가 됩니다. $j$는 세 자리 자연수이며 각 자리 숫자의 합이 7입니다. 이러한 조건을 만족하는 $j$ 중 가장 작은 값을 $K$라고 할 때, $K$의 값은?

위에서 구한 $M, N, K$를 이용하여, 다항식 $P(x) = \\left( \\frac{K}{N} x^2 - x + \\frac{M}{N} \\right) \\left( \\frac{N}{M} x - \\frac{K}{M} \\right)$ 를 전개했을 때, 상수항을 구하시오.