순환소수와 다항식의 고난도 융합 문제

문제

어떤 순환소수 $N = 0.\dot{A}B\dot{C}$가 주어져 있습니다. (단, $A, B, C$는 서로 다른 한 자리 자연수입니다.) 이 순환소수 $N$을 기약분수로 나타내면 $\frac{p}{q}$이고, 다음 조건을 모두 만족합니다.

1. $\frac{1}{3} < N < \frac{1}{2}$
2. $q$는 소수이다.

위 조건을 만족하는 $A, B, C, p, q$ 값에 대하여, 다항식 $P(x) = (A+B)x^2 - C x + (p+q)$ 가 정의됩니다. $p$의 값이 최대일 때, $P(1)$의 값을 구하시오.