미지수 순환소수를 포함한 이차식의 값 추론

문제

$a, b$는 $1$부터 $9$까지의 서로 다른 한 자리 자연수입니다. 두 순환소수 $X=0.\dot{a}$와 $Y=0.\dot{b}$를 이용하여 이차식 $P(k)$를 다음과 같이 정의합니다.

$P(k) = (9X+9Y)k^2 + (9X-9Y)k + C$

다음 조건들을 모두 만족할 때, $a \times b + C$의 값을 구하시오.

1. 상수항 $C$는 $1$부터 $9$까지의 한 자리 소수입니다.
2. $P(1)$의 값은 어떤 정수의 제곱수(완전제곱수)입니다.
3. $P(2)$의 값은 100 이하의 자연수 중 소수의 개수와 같습니다.