순환소수와 복합 식의 값 추론 문제

문제

두 순환소수 $X$와 $Y$는 다음 조건을 만족한다. (단, $a, b, c, d$는 0이 아닌 서로 다른 한 자리 자연수이다.)

<조건 A> 순환소수 $X = 0.a\dot{b}$ 를 기약분수로 나타내면 $\frac{P}{Q}$ 이다. (1) $P$와 $Q$는 서로소이고, $P+Q = 23$ 이다. (2) $a \times b$는 20보다 작은 짝수이다.

<조건 B> 순환소수 $Y = 0.c\dot{d}$ 를 기약분수로 나타내면 $\frac{R}{S}$ 이다. (3) $R$과 $S$는 서로소이고, $R+S = 17$ 이다. (4) $c+d$는 짝수이며, $d>c$ 이다.

위 조건들을 이용하여 다음 식 $M$을 간단히 했을 때, $M = K a^x b^y$ 이다. 이 때, $x+y$의 값을 구하시오. $M = \left( \frac{1}{X} a^{2(c+d)} b^{3(a+b)} \right) \div \left( \frac{1}{Y} a^{(c-d)^2} b^{10} \right)$