특별한 순환소수와 단항식 계산

문제

어떤 기약분수 $A = \frac{x}{y}$ (단, $x, y$는 서로소인 자연수이고 $x<y$)는 다음 세 가지 조건을 만족한다.

1. $A$를 소수로 나타내면 $0.\dot{m}n\dot{p}$ 형태의 순순환소수가 된다. (단, $m, n, p$는 서로 다른 한 자리 자연수이며 $m \ne 0$이다.)
2. $m+n+p=9$이다.
3. $A \times 37$의 값은 자연수가 된다.

위 조건을 만족하는 가장 작은 $A$의 값을 구하여, 다음과 같은 식 $E$를 간단히 하였을 때 $K x^{10} y^{8}$이 된다고 하자.

$E = \left( \frac{1}{A^2} x^{a+1} y^{2b} \right)^3 \div \left( A^{c-1} x^{b} y^{a+c} \right)^2$

(단, $a, b, c$는 자연수이다.)

이때, $a+b+c$의 최솟값을 구하시오.