순환소수와 복합 식 계산 추론 문제

문제

어떤 두 자리 자연수 $A$에 대하여 순환소수 $0.\dot{A}$를 기약분수 $\frac{P}{Q}$로 나타낼 때, 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $P$와 $Q$는 서로소인 자연수이다. (나) $Q$는 소수이다. (다) $P$와 $Q$는 다음 식 $E$를 간략화했을 때, 그 결과가 $\frac{1}{4} x^m y^n$이 되고, 이때 $m$과 $n$은 모두 양의 정수이다.

$E = \left( \frac{x^{P+1}}{y^{Q-1}} \right)^3 \times \left( \frac{y^{P+Q}}{2x^{Q-P}} \right)^2$

위 조건을 만족하는 모든 두 자리 자연수 $A$의 값의 합을 구하시오.