순환소수와 다항식의 얽힌 수수께끼

문제

다음은 두 순환소수 $P, Q$ 에 대한 설명이다.

조건 1: $P = 0.A\dot{B}$ 이다. (단, $A, B$ 는 서로 다른 한 자리 자연수이다.) $P$ 를 기약분수로 나타내면 분모가 18이 된다. 이러한 $P$ 중에서 $A+B$ 의 값이 최대가 되도록 하는 $A, B$ 를 택한다.

조건 2: $Q = K + 0.\dot{C}\dot{D}$ 이다. (단, $K$ 는 정수, $C, D$ 는 서로 다른 한 자리 자연수이며 $C < D$ 이다.) $Q$ 를 기약분수로 나타내면 분모가 11이 되고, $1 < Q < 2$ 이다. 이러한 $Q$ 중에서 $C \times D$ 의 값이 최소가 되도록 하는 $C, D$ 를 택한다.

위 조건들을 만족하는 $A, B, C, D$ 값을 각각 구하고, $P$ 의 기약분수 형태의 분모를 $M$ 이라 하자.

이제 $X = (A \cdot x + C \cdot y)$ 이고 $Y = (B \cdot x - D \cdot y)$ 일 때, 다항식 $(M \cdot X^2 - 7 \cdot Y^2)$ 을 $x, y$ 에 대한 식으로 정리했을 때, $x^2$ 의 계수는 얼마인가?