순환소수와 다항식의 심화 탐구

문제

어떤 분수 $\frac{k}{M}$는 $0 < \frac{k}{M} < 1$를 만족하는 기약분수이고, 순순환소수로 표현될 때 반복되는 소수점 아래 자릿수의 개수를 $N$이라고 하자. 또한, $M$은 $k$와 서로소인 자연수이다. 다음 조건을 만족하는 $M, N$ 값을 찾고, 이를 이용하여 다항식의 값을 구하시오.

조건:

1. 분모 $M$은 $30 < M < 60$을 만족하는 자연수이다.
2. $M$의 서로 다른 모든 소인수의 곱을 $P$라고 하자.
3. 순환마디의 길이 $N$은 $P$보다 크다. 즉, $N > P$이다.
4. 위 조건을 만족하는 $M$은 유일하다.

$P$와 $N$을 구한 후, 다음 이차 다항식 $F(t) = P t^2 + (N-P) t - N$을 생각하자. 이 다항식의 두 정수 근을 $t_1, t_2$라고 할 때, $(t_1+t_2)^2 + |t_1-t_2| + (P-N)$의 값을 구하시오.