숨겨진 순환소수의 다항식 비밀

문제

어떤 순환소수 $X = 0.\\dot{A}B\\dot{C}$가 다음 세 가지 조건을 만족합니다.

1. $A, B, C$는 서로 다른 한 자리 자연수이며, 연속된 세 개의 홀수 중 하나씩입니다.
2. $A, B, C$의 합은 9의 배수입니다.
3. $X$를 기약분수로 나타내면 $\\frac{P}{Q}$인데, $Q$는 30보다 크고 2와 5로 나누어떨어지지 않는 가장 작은 자연수이며, $X$의 순환마디의 길이는 3입니다.

위 조건을 만족하는 $A, B, C, P, Q$ 값을 찾았을 때, 다음 두 다항식 $f(x)$와 $g(x)$가 정의됩니다.

$f(x) = (A+B)x^2 - Cx + (P+Q)$ $g(x) = (P-C)x^2 + (Q-A)x - (B+P)$

이때, 다항식 $H(x) = (f(x))^2 - Q \\cdot g(x)$의 모든 계수의 합은 얼마입니까?