특별한 분수와 식의 값

문제

자연수 $x$에 대하여 분수 $F(x) = \\frac{12x+1}{200-x}$ 가 다음 조건을 모두 만족할 때, $K+c+d$의 값을 구하시오.

(가) $x$는 두 자리 자연수이다. (나) $F(x)$는 순환소수로 나타내어진다. (다) $F(x)$를 기약분수로 나타내었을 때, 그 분수를 $\\frac{P}{Q}$라 하면, $P$는 13의 배수이고, $Q$는 3의 배수이다. (라) 두 단항식 $M = (x+2)a^2 b^3$과 $N = (P-Q)a^c b^d$에 대하여, $M \times N = K a^5 b^6$일 때, $c$와 $d$는 자연수이다.