순환소수와 다항식의 미로

문제

두 자리 자연수 $X$의 십의 자리 숫자를 $u$, 일의 자리 숫자를 $v$라고 하자. 예를 들어, $X=27$이면 $u=2, v=7$이다. 순환소수 $0.u\\dot{v}$를 기약분수 $\\frac{N}{M}$으로 나타낼 때, 다음 조건을 만족하는 $X$에 대하여 $P(y)$의 값을 구하시오.

조건:

1. 기약분수 $\\frac{N}{M}$의 분모 $M$은 6의 배수이지만, 45의 배수는 아니다.
2. 조건 1을 만족하는 모든 $X$ 중에서 각 자리 숫자의 합 $u+v$가 가장 큰 값을 가지는 $X$를 선택한다.
3. 다항식 $P(x)$는 $P(x) = ax^2 + bx + c$ 이고, 계수 $a, b, c$는 각각 $a=N$, $b=M-N$, $c=M+N$이다.
4. $y$는 $M$을 $N$으로 나눈 나머지이다.