순환소수 추론과 단항식 계산의 융합 문제

문제

세 자연수 $A, B, C$가 다음 조건을 만족한다.

• (가) $A$는 자연수이며, 분수 $\frac{A}{90}$가 기약분수이고, 이를 소수로 나타내면 소수점 아래 첫째 자리는 순환하지 않고, 둘째 자리부터 한 자리 숫자가 순환한다. 이러한 조건을 만족하는 가장 작은 자연수 $A$이다.
• (나) $B$는 순환소수 $0.1\dot{2}\dot{3}$의 순환마디를 이루는 숫자의 개수이다.
• (다) $C$는 한 자리 자연수이며, 순환소수 $0.1\dot{C}$를 기약분수로 나타내었을 때, 그 분모가 $9$이다.

두 단항식 $(2a^A b^2)^B$와 $(3a^C b^{-1})^C$에 대하여, 앞의 단항식을 뒤의 단항식으로 나눈 식을 간단히 하였을 때 $K a^x b^y$ 꼴로 나타내어진다. 이때 $K+x+y$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 0이 아닌 상수이다.)