순환소수와 다항식의 고난도 결합 문제

문제

세 자연수 $k, m, n$이 다음과 같이 정의된다.

(가) 분수 $\frac{13}{111}$을 소수로 나타낼 때, 순환마디를 이루는 숫자의 총합이 $k$이다. (나) 분수 $\frac{1}{m}$을 소수로 나타낼 때, 순환마디의 길이가 2이고, $m$은 가장 작은 두 자리 자연수이다. (다) 분수 $\frac{n}{120}$을 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5 뿐이고, $n$은 가장 큰 한 자리 자연수이다.

두 다항식 $A(x) = (k x^m - n x^2 + 2)$와 $B(x) = (\frac{m}{k} x^2 - (\frac{n}{k})^2 x^m + 3)$에 대하여, 다항식 $A(x) + B(x)$의 $x^{11}$의 계수, $x^2$의 계수, 그리고 상수항의 합을 소수로 나타내시오.