순환소수와 다항식의 복합 추론

문제

다음 조건을 만족하는 두 기약분수 $x=\frac{N}{M}$와 $y=\frac{P}{Q}$에 대하여, 식 $A=(11x - 25y)^2 - (11x + 25y)(11x - 25y)$의 값을 구하시오. 단, $A$의 값을 기약분수 $\frac{p}{q}$로 나타낼 때, $p+q$의 값을 구하시오.

$x=\frac{N}{M}$에 대한 조건:

(가) $x$는 $0.\dot{a}\dot{b}$ 형태의 순환소수이며, $a$와 $b$는 서로 다른 한 자리 자연수이다. (나) $M$은 두 자리 자연수 중 가장 큰 수이며, $N$과 $M$은 서로소이다.

$y=\frac{P}{Q}$에 대한 조건:

(다) $y$는 유한소수이다. (라) $Q$는 두 자리 자연수이며, 약수의 개수가 3개인 수이다. (마) $P$는 한 자리 소수 중 가장 큰 수이다.