순환소수와 다항식의 미정계수 추론 문제

문제

서로 다른 한 자리 자연수 $X$와 $Y$에 대하여, 순환소수 $A = 0.X\dot{Y}$를 기약분수로 나타내었을 때, 분자를 $P$, 분모를 $Q$라고 하자.

다음 조건을 모두 만족시키는 상수 $k$와 순환소수 $A$에 대하여 $X+Y$의 값은?

조건:

1. 다항식 $S = (2P-Q-2k)x^3y + (P+Q+k)xy^2 - (P-2Q+k)x^3y + (3P-Q-k)xy^2$를 간단히 하였을 때, $x^3y$ 항의 계수는 $0$이다.
2. 간단히 한 다항식 $S$는 단항식이며, 그 계수는 $2$이다.
3. $k$는 자연수이다.