순환소수와 다항식의 고난도 활용

문제

어떤 두 자리 자연수 $x$는 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 가장 큰 수이다.

(가) 분수 $\frac{x}{120}$를 기약분수로 나타내면 유한소수로 나타낼 수 있다. (나) 분수 $\frac{x}{154}$를 기약분수로 나타내면 순환소수로 나타낼 수 있다. (다) $x$는 (가), (나) 조건을 모두 만족하는 두 자리 자연수 중 가장 큰 수이다.

$x$의 값을 이용하여 순환소수 $A = 0.\dot{x}$ (예: $x=25$이면 $A=0.\dot{2}\dot{5}$)를 정의할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

$(11A - 1)^2 - (11A + 1)(11A - 2)$