순환소수와 단항식 계산 추론 문제

문제

양수 $k$는 두 순환소수 $0.\dot{2}$와 $0.1\dot{5}$의 합을 기약분수로 나타낸 값에 135를 곱한 값이다.

다음 단항식의 계산 결과가 $Cx^Xy^Y$ 형태로 나타내어졌을 때, 다음 조건을 만족한다.

$\,\left( \frac{k}{3} x^{m+1} y^{n-2} \right)^3 \div \left( x^{n-3} y^{m+2} \right)$

조건:

1. $C$는 정수이다.
2. $X, Y$는 자연수이다.
3. $X=2Y$가 성립한다.
4. $m, n$은 $m>0, n>0$인 정수이며, $m+n=10$을 만족한다.

이때, $m \times n$의 값은?