순환소수와 단항식의 심화 분석

문제

두 한 자리 자연수 $a, b$ ($a \neq b, a \neq 0, b \neq 0$)에 대하여, 유리수 $X$를 소수로 나타내면 $X = 0.a\dot{b}$ 이고 $X = \frac{49}{90}$ 이다.

다른 유리수 $Y$는 $Y = \frac{b}{a}$ 이다. $Y$를 기약분수로 나타냈을 때, 분모를 $N$, 분자를 $M$이라 하자. (단, $M, N$은 서로소인 자연수이다.)

두 자연수 $k, m$에 대하여, 다음 단항식 $T$가 있다. $T = (k x^{a+2} y^b)^2 \div \left( \frac{m}{N} x^{M} y^{a-1} \right)$

단항식 $T$를 정리했을 때, 계수는 자연수이고 $x$에 대한 차수는 $10$, $y$에 대한 차수는 $4$이다. 이때, 단항식 $T$의 계수를 $C_T$라고 하면, $C_T$의 소인수분해는 $2^p \cdot 3^q \cdot 5^r$ (단, $p, q, r$은 모두 양의 정수이다) 형태를 가진다.

위 조건을 모두 만족하는 $k+m$의 최솟값은?