순환소수와 다항식의 고난도 활용 문제

문제

어떤 두 자연수 $A, B$가 다음과 같은 조건을 만족한다.

조건 1: 자연수 $m$에 대하여 분수 $\frac{7}{2^a \cdot 5^b \cdot m}$을 소수로 나타내면 유한소수가 된다고 한다. 이때 $m$은 100 이하의 자연수이고, $a, b$는 음이 아닌 정수일 때, $m$이 가질 수 있는 값 중 7의 배수가 아닌 값들의 개수를 $A$라고 하자.

조건 2: 순환소수 $0.\dot{c}\dot{d}$를 기약분수로 나타내면 $\frac{10}{33}$이 되고, 순환소수 $0.e\dot{f}$를 기약분수로 나타내면 $\frac{5}{18}$이 된다고 한다. 이때 $c,d,e,f$는 모두 한 자리 숫자(0부터 9까지의 정수)일 때, $c+d+e+f$의 값을 $B$라고 하자.

두 자연수 $A, B$를 구한 후, 다음 식을 간단히 하였을 때 $x^p y^q$의 꼴이 된다고 한다. 이때 $p+q$의 값을 구하시오. $(x^{A+B} y^{A-B})^2 \div (x^{A+B-1} y^{2A-B}) \times (x^{A-B} y^{A+B})$