순환소수와 다항식의 숨겨진 연결

문제

어떤 두 순환소수 $N_1 = 0.\dot{1}\dot{A}$와 $N_2 = 0.\dot{B}\dot{C}$에 대하여 다음 조건이 만족된다고 하자. (단, $A, B, C$는 각각 한 자리 자연수 또는 0이며, $B \neq 0$이다.)

1. $N_1 \times N_2 = \frac{1}{9}$

2. $A, B, C$는 위의 조건을 만족하는 유일한 한 자리 숫자들이다.

이때, $A, B, C$를 계수로 하여 정의된 다항식 $P(x) = (A+B)x^2 - (B-C)x + (C-A)$의 값을 구하시오. 단, $x$에는 새로운 순환소수 $N_3 = 0.\dot{D}\dot{E}$의 값을 대입한다. (단, $D = A+B-C$, $E = C-B+A$이다.)