순환소수와 다항식의 계수 조건 문제

문제

유리수 $A$는 순환소수 $0.3\dot{8}$을 기약분수로 나타낸 것이다.

어떤 다항식 $P(x)$를 $P(x) = A(36x^2 + 12x + 10) - (px^2 + qx + r)$ 로 정의하자. 이때 $p, q, r$은 유리수이다.

$P(x)$를 간단히 하였을 때, 다음 세 가지 조건을 만족시킨다.

(가) $x^2$의 계수는 $3$이다. (나) $x$의 계수는 $0$이다. (다) 상수항은 $5$이다.

이때 $p+q+r$의 값은?