순환소수 조건과 곱셈 공식을 활용한 값 계산

문제

분수 $\frac{A}{140}$ (단, $A$는 140보다 작은 자연수)를 소수로 나타낼 때, 이 분수가 순순환소수가 되도록 하는 모든 자연수 $A$ 중에서 가장 작은 값을 $A_0$, 가장 큰 값을 $A_1$이라고 하자.

두 수 $x = 0.\dot{1}$, $y = 0.\dot{2}$에 대하여, 식 $(A_1 x + A_0 y)^2 - (A_1 x - A_0 y)^2$의 값을 구하시오.