순환소수와 다항식의 고난도 연산

문제

어떤 분수 $P = \frac{1}{37}$을 소수로 나타내면 $P = 0.\dot{a_1}a_2\dot{a_3}$와 같이 순환소수가 된다. 여기서 $a_k$는 소수점 아래 $k$번째 자리 숫자를 의미한다. 예를 들어 $a_1=0, a_2=2, a_3=7$이다.

두 다항식 $A(x)$와 $B(x)$를 다음과 같이 정의한다:

$A(x) = (a_{100} + a_{101})x^2 + (a_{102} - a_{103})x + (a_{104} \times a_{105})$

$B(x) = (99 \times 0.\dot{a_1}a_2)x^2 + (11 \times 0.\dot{a_2}a_3)x + (a_1 + a_2 + a_3)$

다항식 $C(x)$가 $C(x) = (a_{100} + 1)x A(x) - (a_{101}) B(x)$로 주어질 때, 다항식 $C(x)$의 $x^3$의 계수와 상수항의 합은 얼마인가?