순환소수와 단항식의 복합 활용 문제

문제

두 개의 순환소수 $N = 0.\dot{a}$와 $M = 0.b\dot{c}$가 주어져 있습니다. ($a$는 $1$부터 $9$까지의 한 자리 자연수이고, $b$와 $c$는 각각 $0$부터 $9$까지의 한 자리 자연수이며 $b \neq 0$이다.)

다음 단항식 $P$가 주어져 있을 때, $P = \left( \frac{1}{N} x^{k} y^{m-1} \right) \times \left( \frac{1}{M} x^{2k-1} y^{m} \right)$ $P$는 $x$에 대한 차수가 $2$이고, $y$에 대한 차수가 $3$인 단항식이다. 이때, $P$의 계수가 정수가 되는 $P$의 값 중 $x^2y^3$의 계수가 가장 작은 양의 정수일 때, $a+b+c$의 값은?