미지수를 포함한 연립방정식과 부등식 활용 문제

문제

연립방정식 $\begin{cases} 2x - y = 7 \quad \cdots (ㄱ) \\ x + 2y = a \quad \cdots (ㄴ) \end{cases}$ 의 해 $(x, y)$가 모두 양의 정수일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. 이 때, 구한 $a$와 $x, y$의 값을 이용하여 $z$에 대한 일차부등식 $(x+y)z - 2k \le 10z + k$를 세우고, 이 부등식이 정확히 4개의 음의 정수 해를 갖도록 하는 가장 작은 정수 $k$의 값을 구하시오.