미지수 포함 연립방정식과 부등식의 정수해 개수 활용 문제

문제

양의 한 자리 정수 $a$에 대하여 $x, y$가 다음 연립방정식의 정수해일 때,

$\\begin{cases} x - 3y = 2a \\\\ 2x + y = 3a + 1 \\end{cases}$

이 해 $x, y$를 이용하여 정수 $z$에 대한 다음 일차부등식을 고려하자.

$(x+ay) - \\frac{1}{2} < z \\le (x-ay) + P$

이 부등식을 만족하는 정수 $z$의 개수가 정확히 $4$개일 때, 조건을 만족하는 가장 작은 양의 정수 $P$의 값을 구하고, $a+P$의 값은 얼마인가?

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