연립방정식과 부등식의 해 조건 추론 문제

문제

두 연립방정식

$\\begin{cases} (a-1)x + y = 3 \\quad \\cdots \text{(1)} \\\\ x - (a+1)y = -1 \\quad \\cdots \text{(2)} \\end{cases}$

의 해 $(x, y)$가 자연수일 때, 상수 $a$의 값을 결정할 수 있습니다.

이때, $(x, y)$가 위 연립방정식의 해이고, 상수 $k$가 1보다 큰 자연수일 때, 다음 부등식

$(k^2 - 1)z - (a+3)z \\le kx + y$

를 만족하는 음이 아닌 정수 $z$의 개수가 5개가 되도록 하는 $k$의 값을 구하시오.