매개변수를 포함한 연립방정식과 부등식의 해

문제

두 미지수 $x, y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + ay = 1 \end{cases}$ 이 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $2a^2 + a$ 의 값은? (단, $a$는 정수이다.)

조건 가: 연립방정식의 해 $(x, y)$는 모두 정수이다. 조건 나: 연립방정식의 해 $(x, y)$에 대하여 $x+y > 0$ 이다. 조건 다: $k$에 대한 부등식 $3a-2 < 2k+1 < 4a+5$ 를 만족시키는 정수 $k$의 개수는 3개이다.