부등식과 연립방정식의 고난도 활용 문제

문제

연립방정식 $\\begin{cases} x + ay = 3 \\\\ 2x - y = b \\end{cases}$ 에 대하여 다음 조건을 모두 만족하는 정수 $a, b$를 찾고, 그 해 $(x,y)$에 대해 $x+y$의 최댓값을 구하시오.

(단, $a, b$는 정수이고, $Y$는 자연수이다.)

조건:

1. 연립방정식의 해 $(x, y)$가 유일하게 존재한다.
2. 부등식 $Y \\le y$ 를 만족하는 자연수 $Y$의 개수가 정확히 3개이다.
3. $3a - b < 10$ 이다.