부등식과 연립방정식 활용 심화 문제

문제

연립방정식

$\begin{cases} 2x - y = 3a - 1 \quad \cdots (\text{ㄱ}) \\ x + 2y = a + 2 \quad \cdots (\text{ㄴ}) \end{cases}$

의 해 $(x, y)$가 존재할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 정수 $a$의 모든 값의 합을 구하시오.

\begin{enumerate} \item 해 $(x, y)$는 모두 정수이다. \item $x + y > 0$ 이다. \item $a$는 두 자리 자연수이다. \end{enumerate}