세 개의 일차함수와 도형의 넓이 추론 문제

문제

좌표평면 위에 세 개의 일차함수 $L_1: y=ax+b_1$, $L_2: y=ax+b_2$, $L_3: y=cx+d$가 있다. 이 세 일차함수는 다음 조건을 만족한다.

(가) $a, b_1, b_2, c, d$는 모두 정수이다. 또한 $b_1 \neq b_2$ 이다. (나) 일차함수 $L_1$은 점 $A(2, 7)$을 지난다. (다) 일차함수 $L_2$는 점 $B(5, -1)$을 지난다. (라) 일차함수 $L_3$의 $y$절편 $d$는 양수이다. (마) 두 일차함수 $L_1, L_3$의 교점 P와 두 일차함수 $L_2, L_3$의 교점 Q는 모두 제1사분면에 위치한다. (바) 원점 O와 두 교점 P, Q로 이루어진 삼각형 OPQ의 넓이는 $20$이다. (사) 일차함수 $L_3$의 기울기 $c$는 가장 작은 양의 정수이다.

이때, $a+c$의 값을 구하시오.