일차함수의 그래프와 조건 추론 문제

문제

좌표평면 위의 일차함수 $y=ax+b$에 대하여 다음 조건들을 모두 만족시키는 정수 $a, b$ 쌍을 찾고, 가능한 모든 $a$ 값의 합을 구하시오.

(단, $a, b$는 정수이고, $y=ax+b$와 $y=x+5$는 서로 다른 두 일차함수이다.)

(가) 일차함수 $y=ax+b$의 그래프는 점 $(1,6)$을 지난다. (나) 일차함수 $y=ax+b$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 4이다. (다) 일차함수 $y=ax+b$의 그래프와 일차함수 $y=x+5$의 그래프의 교점 $\mathrm{P}(x_P, y_P)$는 제1사분면에 있고, $x_P$와 $y_P$는 모두 정수이다.

이때, 가능한 모든 $a$ 값의 합은?