세 일차함수의 교점과 무게중심 조건 문제

문제

좌표평면 위에 세 일차함수 $y=ax+b$, $y=-x+7$, $y=2x+1$ 이 있다. 이 세 직선이 서로 다른 세 점에서 만나 삼각형 $ABC$를 이룬다고 하자. 다음 조건을 모두 만족시키는 상수 $a, b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

(가) 직선 $y=ax+b$는 점 $(4, 1)$을 지난다. (나) 삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$와 $B$는 모두 정수 좌표를 갖는다. (단, $A$는 $y=ax+b$와 $y=-x+7$의 교점, $B$는 $y=ax+b$와 $y=2x+1$의 교점이다.) (다) 삼각형 $ABC$의 무게중심의 $x$좌표는 자연수이고, $y$좌표는 정수이다.