일차함수와 절댓값 그래프의 성질 활용

문제

좌표평면에서 일차함수 $y=f(x)$는 점 $A(k, 0)$를 지나고 (단, $k$는 자연수이다), $y$축과 만나는 점 $B$의 좌표는 $(0, -2k)$이다. 함수 $y=|f(x)|$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $C$라고 하자. 양수인 상수 $h$에 대하여, 수평선 $y=h$가 $y=|f(x)|$의 그래프와 두 점 $P, Q$에서 만날 때, 다음 조건을 만족한다.

(가) 두 점 $P, Q$ 사이의 거리는 8이다. (나) 점 $C$와 두 점 $P, Q$로 이루어진 삼각형 $CPQ$의 넓이는 24이다.

이때, 상수 $h$의 값은?