두 일차함수와 x축으로 만들어지는 삼각형의 넓이

문제

두 일차함수 $y = -x + 6$과 $y = ax + b$가 있다. 일차함수 $y = -x + 6$의 그래프가 x축과 만나는 점을 A라고 하고, y축과 만나는 점을 B라고 하자. 일차함수 $y = ax + b$의 그래프는 점 $(2, 4)$를 지나며, x축과 점 C에서 만난다. (단, 점 C는 점 A와 다른 점이다.) 두 일차함수의 그래프가 만나는 점을 P라고 할 때, 삼각형 APC의 넓이가 12가 되도록 하는 상수 $a$의 값은? (단, $a > 0$이고 $a \ne -1$)