절댓값, 등차수열, 그리고 소인수분해의 융합 문제

문제

서로 다른 세 정수 $A, B, C$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $|A| + |B| + |C| = 33$ (나) $A \times B \times C = 1320$ (다) $A, B, C$ 중 두 개의 수는 음의 정수이고, 한 개의 수는 양의 정수이다. (라) $|A|, |B|, |C|$는 모두 서로 다른 자연수이고, 이들을 작은 수부터 크기 순서대로 나열했을 때 등차수열을 이룬다. (마) $|A|$는 $|B|$와 $|C|$보다 크다.

위 조건을 만족하는 $A, B, C$에 대하여, $N = \\frac{|A| \times |B|}{|C|}$ 이라고 할 때, $\\frac{N}{k}$이 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값은?

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