정수, 유리수, 소인수분해 통합 고난도 문제

문제

다음 조건을 모두 만족하는 정수 $a, b$와 자연수 $X$에 대하여, $a+b+\\frac{|a \\cdot b|}{\\operatorname{gcd}(X, |a+b|)}$의 값을 구하시오.

조건

(가) $2X$는 어떤 자연수의 제곱이고, $3X$는 어떤 자연수의 세제곱이다. (나) $X$는 $200$ 이하의 자연수이다. (다) $a, b$는 정수이며 $a \\cdot b < 0$ 이고 $|a| < |b|$ 이다. (라) $b < 0$ 이다. (마) $|b|$는 $100$ 이하의 자연수 중 약수의 개수가 $6$개인 가장 큰 수이다. (바) $\\operatorname{lcm}(a, |b|)$는 $2500$보다 크고 $4$의 배수이다. (사) 위 조건을 모두 만족하는 $a$ 중 가장 작은 자연수가 $a$ 이다.