N의 소인수분해를 이용한 제곱수와 세제곱수 관계 추론

문제

어떤 자연수 $N$이 다음 조건을 모두 만족한다.

(가) $100 < N < 200$ 이다.

(나) $N$은 양의 약수를 정확히 10개 가진다.

(다) $N \times x$가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$를 $f(N)$이라 하자.

(라) $N \times y$가 어떤 자연수의 세제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $y$를 $g(N)$이라 하자.

조건 (가)부터 (라)를 모두 만족하는 자연수 $N$ 중에서 $f(N)+g(N)$의 값이 가장 작을 때의 $N$ 값을 구하시오.