소인수분해와 완전제곱수, 약수의 개수 문제

문제

어떤 자연수 $A$에 대하여 $\frac{2^3 \times 3^2 \times 5}{A}$ 가 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $A$를 $A_1$이라고 하자.

또, 자연수 $B$에 대하여 $\frac{2^4 \times 3^3 \times 5^2}{B}$ 가 자연수의 제곱이 되도록 하는 두 번째로 작은 자연수 $B$를 $B_1$이라고 하자.

이때, $A_1 \times B_1$의 모든 양의 약수의 개수는?