소인수분해와 정수의 개수

문제

자연수 $a$에 대하여 $2^2 \times 3^3 \times a$가 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$를 구하시오. 이때, 구한 자연수 $a$의 양의 약수의 개수를 $b$라 하자. 다음 부등식 $-b < x \le \frac{a}{2}$를 만족하는 정수 $x$의 개수는?