미지수 계수를 포함한 일차식의 복합 조건 추론 문제

문제

자연수 $n$과 정수 $k$에 대하여 두 일차식 $A(n) = 3n-1$과 $B(n) = 2n+k$가 주어져 있습니다. 다음 다섯 가지 조건을 모두 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $k$의 값을 구하시오.

조건:

1. $n$은 $1 \\le n \\le 10$인 자연수입니다.
2. $A(n)$의 값은 소수(prime number)입니다.
3. $B(n)$의 값은 5의 배수입니다.
4. $A(n)-B(n)$을 3으로 나누었을 때 나머지가 2입니다.
5. 위의 네 가지 조건을 모두 만족시키는 자연수 $n$의 값은 오직 한 개만 존재합니다.