숨겨진 일차식과 방정식의 비밀

문제

정수 $k, m, n$에 대하여 세 일차식 $L_1(x)$, $L_2(x)$, $L_3(x)$가 다음과 같이 정의된다.

$L_1(x) = (2k-1)x + (m+2)$ $L_2(x) = (k+1)x - (m-n)$ $L_3(x) = (n-3)x + (2k+m)$

이 세 식에 대한 다음 조건들을 모두 만족할 때, $k+m+n$의 값을 구하시오.

조건 1: 두 식 $L_1(x)$와 $L_2(x)$를 더한 식, 즉 $L_1(x) + L_2(x)$는 $x$에 대한 일차식이 아니다. 조건 2: $L_2(x)$에서 $L_3(x)$를 뺀 식, 즉 $L_2(x) - L_3(x)$를 간단히 했을 때 상수항이 $7$이다. 조건 3: $k$ 값을 적용한 후, 일차방정식 $L_1(x) = L_3(x)$의 해 $x$는 $2 \le x < 5$를 만족하는 정수이다.