미지수 계수를 가진 방정식의 해 조건 탐구

문제

세 수 $A, B, C$는 다음 조건을 모두 만족하는 서로 다른 한 자리 자연수이다.

(가) $A, B, C$는 서로 다른 한 자리 자연수이다. (즉, $A, B, C \\in \\{1, 2, ..., 9\\}$이며 $A \ eq B, B \ eq C, A \ eq C$) (나) 방정식 $\\frac{A}{3}(x-1) - \\frac{B}{2}(x+1) = \\frac{C}{6}(x-3)$의 해 $x$는 $x \\ge 2$인 자연수 중 가장 작은 값이다. (다) $A+B+C$의 값은 홀수이다. (라) $A > B > C$를 만족한다. (마) $A-C = B+1$이다.

위 조건을 모두 만족할 때, $A$의 값은?