평행선과 각의 이등분선을 이용한 각도 추론

문제

그림과 같이 서로 평행한 두 직선 $L_1$과 $L_2$가 있습니다. 직선 $L_1$ 위에 점 $A$가, 직선 $L_2$ 위에 점 $B$가 있습니다. 두 직선 $L_1$과 $L_2$ 사이에 점 $P$가 존재합니다.

점 $A$에서 $L_1$을 따라 왼쪽으로 그은 반직선을 $AX$, 점 $B$에서 $L_2$를 따라 오른쪽으로 그은 반직선을 $BY$라고 합시다. (즉, $X, A$는 $L_1$ 위에 있고 $Y, B$는 $L_2$ 위에 있으며, $A$는 $X$의 오른쪽에, $B$는 $Y$의 왼쪽에 있습니다.)

주어진 조건은 다음과 같습니다.

1. $\\angle XAP = \\alpha$
2. $\\angle YBP = \\beta$
3. 선분 $PM$은 $\\angle APB$를 이등분합니다.
4. 선분 $PN$은 $\\angle APY'$를 이등분합니다. (단, $Y'$은 반직선 $BY$ 위에 있는 점 중 $P, A, Y'$이 한 직선 위에 있지 않도록 하는 임의의 점이며, $\\angle APY'$는 선분 $PA$와 선분 $PY'$로 이루어진 각입니다.)
5. $\\alpha : \\beta = 5:4$ 이고, \\angle MPN = 35^\\circ 일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하시오.

(문제 이해를 돕기 위한 그림을 상상해주세요. L1은 위에, L2는 아래에 있으며 AP, PB 선분이 P점에서 꺾여있습니다. AX는 L1을 따라 A의 왼쪽에, BY는 L2를 따라 B의 오른쪽에 있습니다. P점은 A와 B 사이에 있습니다. PM은 APB를 이등분하며, PN은 APY'를 이등분합니다. Y'은 BY 선상의 점입니다.)