평행선과 각의 이등분선을 활용한 고난도 문제

문제

두 직선 $l$과 $m$은 평행하고, 그 사이에 두 점 P, Q가 위치해 있습니다. 직선 $l$ 위에 점 A, B가 있고 (A가 B의 왼쪽에 위치), 직선 $m$ 위에 점 C, D가 있습니다 (C가 D의 왼쪽에 위치). 선분 AP, PQ, QB, QC, QD, DP가 그려져 있습니다.

다음 조건을 모두 만족할 때, $\angle APQ$의 크기를 구하시오.

1. $\angle PAB = 2\angle QDC$
2. $\angle PQD = 20^\circ$
3. $\angle CQP = 30^\circ$
4. $\angle QBC$의 이등분선과 $\angle QDC$의 이등분선은 서로 평행하다.
5. $\angle DPQ + \angle CQP = 150^\circ$