평행선 사이의 꺾인 선과 각의 이등분선

문제

두 직선 $l$과 $m$은 서로 평행합니다 ($l \parallel m$). 점 A는 직선 $l$ 위에 있고, 점 B는 직선 $m$ 위에 있습니다. 점 P와 Q는 직선 $l$과 $m$ 사이에 있습니다. 선분 $AP$, $PQ$, $QB$가 연결되어 꺾인 선 $A-P-Q-B$를 이룹니다.

$\vec{PX}$는 $\angle APQ$의 이등분선이고, $\vec{QY}$는 $\angle PQB$의 이등분선입니다.

주어진 조건은 다음과 같습니다.

1. $\vec{PX} \parallel \vec{QY}$ (두 이등분선은 서로 평행합니다.)
2. $\angle PAL = 40^\circ$ ($L$은 점 A를 포함하는 직선 $l$의 왼쪽 방향에 있는 한 점입니다.)
3. $\angle MBQ = 60^\circ$ ($M$은 점 B를 포함하는 직선 $m$의 오른쪽 방향에 있는 한 점입니다.)
4. $\angle APQ : \angle PQB = 3 : 5$.

이때, $\angle APQ$의 크기는 얼마입니까?