좌표평면 위의 정비례, 반비례 그래프와 넓이 문제

문제

좌표평면 위에 두 함수 $y=ax$와 $y=\frac{k}{x}$의 그래프가 주어져 있습니다. 여기서 $a$와 $k$는 자연수입니다.

두 점 P와 Q는 모두 제1사분면에 있으며 다음 조건을 만족합니다.

(가) 점 P의 x좌표와 점 Q의 y좌표가 같습니다. 이 값을 $p$라고 할 때, $p$는 자연수입니다. (나) 점 P의 y좌표와 점 Q의 x좌표가 같습니다. (다) 원점 O와 두 점 P, Q를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OPQ의 넓이는 36입니다.

이때, $a+k$의 값을 구하시오.